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静学ブログ

2015年08月30日
【Vol.5】平成27年度「新!静学からの挑戦状」 (解答)
【問題1】

 △ABCに接する円を右回りに回転させ、円に内接する三角形の辺EDがBCに平行になる位置(図1)まで移動させます。
(図1)
Q5a-1
 この時△DEFが点D、E、Fで△ABCに接している、すなわち点DはAB上、点EはAC上、点FはBC上の点であることがわかれば問題解決です(※)。

 なぜなら△ADE、△DBF、△EFCはどれも正三角形で、しかもそれぞれ一辺の長さが、DE、DF、EFと同じですから、実は△DEFと同じ正三角形であることがわかります。

 従って、△DEF=1/4△ABCです。

 よって、△DEFの面積は、10/4=2.5(㎝2)です。

(※)について少し説明しましょう。(図2)を見てください。

(図2)
Q5a-2
 △ABCに内接する円の接点をそれぞれD'、E'、F'としましょう。

 △ABCは正三角形ですから、線対称な図形です。従ってF'はBCの中点になります。同様に見方を変えれば、D'はABの中点、E'はACの中点です。

よって、例えばE'C=F'Cの二等辺三角形で∠C=60°ですから、∠E'=∠F'=60°で正三角形です。しかも一辺の長さはAB=BC=ACの半分です。

Q5a-3
 △D'E'F'≡△DEF(≡は合同、全く同じ図形という意味です)

 そして、△D'E'F'と△DEFは同じ位置にあることになりますから、D'=D、E'=E、F'=Fであることがわかります。



(図3)を見てください。

Q5a-4

 正方形ABCDに内接する円を円Oとします。

 4つの接点をそれぞれE'、F'、G'、H'とします。正方形も円も対象な図形ですから、E'、F'、G'、H'はそれぞれAD、AB、BC、CDの中点になりますね。

 当然四角形E'F'G'H'は正方形になりますね。(なぜかは考えてください)

 よって、四角形EFGH=四角形E'F'G'H'、E'G'、F'H'はそれぞれ円の中心Oを通ります。


(図4)
Q5a-5

 正方形E'F'G'H'の面積が正方形ABCDの面積の半分であることは一目でわかりますね。

よって、四角形EFGH=5cm²です。


【問題2】
 この問題は、「一番大きな正方形として」、A=49cm²、B=36cm²、C=25cm²、D=16cm²、E=9cm²、F=4cm²、G=1cm²を「いくつ使うか」をまず考えるのがよいでしょう。
「」が大切なポイントですよ。


ア.Aが1個(2個は使えない)の場合
Q5a-6

どうですか、見つかりましたか?


イ.Bが1個の(2個は使えない)の場合
 明らかにできません。

ウ.Cが2個の場合
 【問題2】の図を見ればできないことは明かです。

ウ'.Cが1個の場合
左はやむを得ません。残りを4個の正方形でうめつくすことはできません。
Q5a-7


エ.Dが2個(3個は使えない)の場合
Q5a-8

いかがですか。

エ'.Dが1個の場合
Q5a-9

 できるだけ少ない正方形にするには、Eをたくさん使いたいですね。さてここで考えます。□は全部で70個、Dが1個の場合、残りは70-16=54、Eを多く使うとすると、54÷9=6 最大6個。

 でもこれは全部で7個ですから(実際にはできません)からダメ。では5個使うとしましょう。54-45=9

 わかりますか。あとはFとGですが、、FとGはとにかく2個使って9個のマスでうめつくすことはできませんね。




2015年08月15日
【Vol.5】平成27年度「新!静学からの挑戦状」
 静学からの挑戦状【vol.1】【vol.3】の算数の問題は2つとも小学生には、「難しすぎる」と不評でした。「こんな難しい問題ができないと、静岡学園中学校には合格できないの?」と心配させてしまったようです。私が君たちに感じて欲しいのは、「試行錯誤することの楽しさ」「考えることの楽しさ」です。

 今回は少し簡単な問題を出すことにしましょう。やはり問題は2つあります。

【問題1】
①正三角形ABCがあり、それに内接する円にまた内接する正三角形DEFがあります。
Q5-1

②正方形ABCDがあり、それに内接する円にまた内接する正方形EFGHがあります。
Q5-2

①、②ともに大きな正三角形と大きな正方形の面積は10cm²です。

小さな三角形と小さな正方形の面積を求めてください。答えだけでなく、なぜそうなるかきちんと説明してください。


【問題2】
あまり算数らしくない問題です。ちょっと図形で遊んでみましょう。

タテ7㎝、ヨコ10㎝の長方形があります。いくつかの正方形でこの長方形を作ります。

正方形7個で作るなら、下図のようにすれば簡単にできます。

Q5-3

では正方形8個でタテ7㎝、ヨコ10㎝の長方形を作ってください。

どの大きさの正方形を何個使うか、異なるものを2つ以上考えてみてください。


P.S では9個の正方形を使って、同じ長方形を作ることができるでしょうか。これは問題ではありません。はまりこむと大変です。

2015年08月15日
【Vol.4】平成27年度「新!静学からの挑戦状」 (解答)
 昭和23年生まれの私と平成13年生まれの君たちとは「遊び」という言葉からイメージする「遊びの内容」は全く異なります。どのように異なるのかというよりなぜ異なるのかを考えてみます。君たちと同じように小学校6年生までの経験の中で考えます。

 一つは、遊ぶ道具の多さです。現在はITを駆使したゲーム機が山のようにあります。私たちは、あるものをなんとか利用しました。棒切れを野球のバットに、木の上に隠れ家を作り、木の枝でパチンコ(鳥を撃ったり、缶を倒したり)を作り笹を切ってきて釣竿にしました。

 二つ目は、遊びの場所です。私が家の中で遊んだのは、誕生会に招かれたときぐらいでしょうか。あとは外、屋外に遊ぶ場所はいっぱいありました。馬小屋、牛小屋、作業小屋、かくれんぼなど、どこの家の小屋も出入り自由でした。寺の境内松林の中、もちろん路上も遊び場です。

 三つ目は、小さな子から(保育園の児童)から中学生まで地域の子どもたちが皆一緒に遊んだということです。皆さんも友達と遊ぶことはあるでしょう。同年齢ですね。クラブチームの仲間で遊んだり、地域の運動会などあるかもしれません。私たちはほとんど毎日ガキ大将率いる異年齢集団が一緒に遊びました。

    前置きが長くなりました。そんな遊びの中で私が学んだことをあげましょう。

 第一は遊びはアイデアの宝庫です。いかに独創的で楽しい遊びを考えるか。創造力を養う訓練にもなりました。

 第二は、人を傷つけない、弱い者をいじめない、わがままを言わないことが集団を平和に維持して行くことにおいて大切だということです。

 そして、第三に、私たちの周りには危険がいっぱい潜んでいます。一人で行動しない。自分の力を知っていること。助けを求める手立てを持っていることが大切です。迷子になる。ため池に落ちる。川に流される。波にさらわれる。墓石が倒れる。牛に跳ねられる。犬に噛まれる。火遊びをしていて火事になる。どれも危険の対処の仕方を教えてくれた良い経験です。
2015年07月30日
【Vol.4】平成27年度「新!静学からの挑戦状」
 夏本番です。毎日本当に暑い日が続きますね。是非熱中症には十分気をつけてください。

 ところで皆さんの学校は夏休みに入りましたか?小学生のころは夏休みが待ち遠しくて、夏休みは楽しい毎日でした。夏休みのノートや工作、研究課題などもありましたが楽しい毎日でした。いっぱい遊んでいっぱい経験できる時期ですね。海に山に自然の中で遊んだり、家族旅行をしたり、友達同士で遊びに出かけることもありました。時に喧嘩をしたり、危険な目に会うこともありましたが、「子供は遊ぶのが仕事」なんて言われるように、「遊びから学ぶこと」はたくさんあります。

 さて、そこで今回の問題です。皆さんはこの世に誕生してから今までたくさんの遊びの経験をしてきたと思います。君がそれらの遊びを通して本当に大切なことを学んだと思う経験を一つ具体的に紹介し、その経験によって何を学んだのか600字以内で書いてください。


下記の方法でお送りください。※氏名、住所、電話番号も記載してください。

①FAX(054-200-0195)

②メール(info@shizugaku.ed.jp

③郵送(〒420-0833 静岡市葵区東鷹匠町25 静岡学園中学校・高等学校)
2015年07月30日
【Vol.3】平成27年度「新!静学からの挑戦状」 (解答)
【問題1】解答例

問題の条件を式に表してみましょう。

vol3-1

(a+c)÷2=a ですね。

ここで小学生なら頭の中で考えるでしょう。

▼Step1
【頭の中で考えること】・・・※

a,b,cは異なる数だから、aが一番大きい数になることはない。

よって、①b>a>c(>0)か、②c>a>b(>0)のどちらかである。

①として次のことを考える。

▼Step2
今、b>a>cは確定。
1つずらして、d,b,aを考えると、
(※で考えたことから)
d>b>a または d<b<aであるが、
b>aだから
d>b>aとなるはずである。

▼Step3
d>b>a>c 1つずつ左回りにずらしていこう。

e,d,bの時、e>d>b、よって次のf,e,dの時、f>e>d
次のg,f,eの時、g>f>e、
h,g,fの時、h>g>f
さらにc,h,gの時、c>h>gとなる。

▼Step4
すべての不等式をつなげると、
c>h>g>f>e>d>c>b>a>cとなる。

こんなことは有り得ないから、条件を満たすように8つの数を配置することはできない。

※の2の場合も同様にできないことは各自で確かめてください。


【問題2】

▼Step1
1~10の数字をでたらめに円の中に入れていく訳です。

例えば図の様に入れたとします。
vol3-2

3つの数の和(a,b,c)、(b,c,d)、(c,d,e)、(d,e,f)、(e,f,g)、(f,g,h)、(g,h,i)、(h,i,j)、(i,j,a)、(j,a,b)
隣り合う3つの数の和を考える訳ですね。

▼Step2
問題が正しいと主張しているのは、a~jが1~10のどの様な数であっても、必ずその中に3つの数の和が17以上になるものがあるというわけですね。
すなわり、a+b+c、b+c+d、c+d+e、d+e+f、e+f+g、f+g+h、g+h+i、h+i+j、i+j+a、j+a+b の10個の数の中に必ず17以上のものがあるといっている訳です。

▼Step3
ここからが“閃き(ひらめき)”なんですね。
Step2の10個の数を全部加えてみましょう。

S=(a+b+c)、(b+c+d)、(c+d+e)、(d+e+f)、(e+f+g)、(f+g+h)、(g+h+i)、(h+i+j)、(i+j+a)、(j+a+b)
=(h+i+j)+(i+j+a)+(j+a+b)
=3a+3b+3c+3d+3e+3f+3g+3h+3i+3j
=3(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)
ここで驚きの発見をして下さい。
どんなにでたらめの数を入れても
a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55ですよね。

よってS=3×55=165です。
Step2の10個の数を足していますね。
そしてそれらの和はどの様にでたらめに数を入れようとも165なんです。
そこでStep2の10個の数の平均を出せば、165÷10=16.5です。

▼Step4
考えてみて下さい。Step2の10個の数の和は3つの自然数の和ですから、必ず自然数です。10個の数が全部16以下であれば、平均が16.5になることはありません。
よって、必ず10個の数の中に17以上の自然数が存在することになります。
2015年07月15日
【Vol.3】平成27年度「新!静学からの挑戦状」
 前回Vol.1の算数の問題を楽しんでもらえましたが?さて、今回も問題を2つ出します。

 数の平均の問題です。何度も言いますが、ありきたりな問題ではありません。従って考える手がかりが見つからないと、とても難しく感ずるかもしれません。でも試行錯誤しながら考えることこそ意味があります。

 さて、2つの数a,bの平均は「(a+b)÷2」、3つの数a,b,cの平均は「(a+b+c)÷3」ですね。2つの問題は、この「平均」が考える重要なポイントになります。

【問題1】
vol3-1 必ず、真ん中の数がその両側にある2つの数の平均になるように
8つの数を配置することができますか?

a=(b+c)÷2

 できる場合、具体的に数を示してください。
 できない場合は、できないことを説明してください。



【問題2】
vol3-2 10個の円を丸く並べ、その中に1~10までの数を入れます。
どのように(でたらめに)入れても必ず隣り合う数の3つの数の和が
17以上になることがあることを示しなさい。

a+b+c≧17
2015年07月15日
【Vol.2】平成27年度「新!静学からの挑戦状」(解答)
 皆さんときっと同じように、私もドラえもんの四次元ポケットから出して欲しい道具はたくさんあります。

 あえて「一つだけ」という条件をつけたのはもちろん、皆さんに考えて欲しいからです。何を?君たちがどんな世界を望んでいるのか、そのことを真剣に考えて欲しいのです。そのためには現在の社会・世界、そしてそこに生きている人々がどんな問題を抱え、何を一番望んでいるのか、そのことに君たちの意識や関心を持ってもらいたいと考えました。

 君たちにも悩みながら考えてもらったわけですから、私も考え悩んで出した結論を紹介します。「世界中のどこでも誰でも、お金がなくても、障害があってもなくても、安心して学ぶことができる学校を作る道具」です。

 最初に言ったように出して欲しい道具はたくさんあります。「環境破壊から地球を守る道具」、「どんな難病をも治せるロボット医師」、「地球上の核兵器を一瞬にして処分してしまう道具」、「どんな自然災害を、もちろん地震や火山の噴火、巨大台風も完全に予知できる道具」、「誰もが、どんなに考えや価値観が異なる人でも互いに理解し合い、仲良くなれる道具」、ああ!次から次へと欲しいものが出てきます。でも私は考えました。結局世界中の人々が抱えている一つ一つの問題を解決する方法を考えるのは私たち人間です。そしてその人間には、豊かな愛情と知恵と勇気、協力し合う気持ちが必要です。それらを育てるのは「学校」です。問題の解決には時間がかかりますが、皆が自由に安心して学校で学び「問題を解決して世界の平和を作り出す人」に成長してくれることこそが一番大切ではないかと考えました。

 ドラえもん、よろしくお願いします。
2015年06月30日
【Vol.2】平成27年度「新!静学からの挑戦状」

 新!静学は、未来の真のエリートの育成を目指しています。そして今この挑戦状を読んでいる君も必ず真のエリートになる可能性を持っていると確信しています。でも、私が言う「真のエリート」とは「他者の幸せのためにどんなに困難であっても、その人の問題を解決しその人の幸せのために貢献することこそ自分の喜びであり幸せだ」という人生観と価値観を持って他者の幸せのためにチャレンジし続ける人のことです。
 さて、君もそんな人生観を持っています。でも問題解決の力はまだ身につけていません。そこで君は、少し安直ですがドラえもんの力を借りることにしました。ドラえもんの四次元ポケットから素敵な道具を出してもらい人々の幸せのために貢献したいと考えました。

 そこで問題です。「あなたならドラえもんからどんな道具を出してもらいますか。そしてどうしてその道具を出してもらおうと考えましたか?」600字以内で君の考えを書いてください。


下記の方法でお送りください。※氏名、住所、電話番号も記載してください。

①FAX(054-200-0195)

②メール(info@shizugaku.ed.jp

③郵送(〒420-0833 静岡市葵区東鷹匠町25 静岡学園中学校・高等学校)

2015年06月30日
【Vol.1】平成27年度「新!静学からの挑戦状(解答)」

【問題1】

 算数の問題には必ず正解があります。しかし、正解に至る道(過程)は、色々あります。

しかもその過程にはよく考えられた素敵な解答とそうでないものがあります。

できれば、常に素敵な解答を考えるという習慣を身につけたいですね。

ですから、私が示す第1回「解答例」もBest(最も良い)な解答ではなく解答例にすぎません。

そのつもりで読んでください。

 

A、B、Cからそれぞれ分かることがあります。

しかし、Cにはすべてのボールがありますからここから考えます。

まずは、『Cから分かること』について考えます。

重さで比べると、②+③+④>①+⑤+⑥+⑦です。この中に2gと3gのボールが1個含まれています。

考えてみて下さい。①、⑤、⑥、⑦の中に2gか3gの1つでも入っていれば、①+⑤+⑥+⑦≧5gとなり、②+③+④≦5gとなります。これはCを満たさないので、①、⑤、⑥、⑦は全て1g。

すなわち①=⑤=⑥=⑦=1gだということが分かります。

 

次に『Aから分かること』について考えてみます。

②+2g>④+2gから、②>④だと分かります。

 

最後に『Bから分かること』について考えます。

④+1g>2gから、④≧2gという事が分かります。

 

よって、②>④≧2gですから、②=3g、④=2gとなります。さらに③=1gです。

答え ①=③=⑤=⑥=⑦=1g、②=3g、④=2g

 

 

【問題2】

(Ⅰ)まず、Eに着目することが大切です。全て乗っていて、しかも釣り合っています。

全て乗っているということは、全ての重さが14gですから、

このことから、①+②+③+④=⑤+⑥+⑦+⑧=7gということが分かります。

もう少していねいに見ると

ア:(①、②、③、④)=(1g、1g、1g、4g)、(⑤、⑥、⑦、⑧)=(1g、1g、2g、3g)

イ:(①、②、③、④)=(1g、1g、2g、3g)、(⑤、⑥、⑦、⑧)=(1g、1g、1g、4g)

の2つの場合に分けられることが分かります。


(Ⅱ) (Ⅰ)‐アの場合

次にどこを見るか迷います。ちょっとA、B、Cと異なるDに着目することにします。

 

Step1  2個と3個が釣り合っているのですから、①=③=1gということはありません。

①と③のどちらかが4gです。そこで、②=④=1gも分かりますね。

さらに②+⑤+⑦=5gですから、⑤+⑦=4gです。このことから⑤と⑦のどちらかが3gだと分かります。

 

Step2  Cに着目すると、④=1gですから、③は1gではなく③=4gであることが分かります。

よって①=1gです。

整理すると、①=②=④=1g、③=4g、⑤と⑦は3gと1g、⑥と⑧は2gと1gです。

 

Step3  AかBか迷いますがAに着目します。

②+⑥+⑦>①+⑤+⑧について、①=②=1gですから、⑥+⑦>⑤+⑧となります。

ここで、⑤=3gとすると、Step2より⑦=1gです。従って⑥+1g>3g+⑧となります。 

しかし⑥と⑧は2gと1gですからこれは成り立ちません。

もとに戻り、⑤=1gとするとStep2より⑦=3gです。従って⑥+3g>1g+⑧となります。 

この場合、⑥、⑧はどちらかが2gまたは1gでも成り立ちます。

 

Step4  そこでBに着目します。

⑤+⑧>①+②ですから、1g+⑧>2gです。よって⑧=2g、⑥=1gとなります。

⑤=⑥=1g、⑦=3g、⑧=2gとなり、以下が答えとなります。

答え ①=②=④=⑤=⑥=1g、③=4g、⑦=3g、⑧=2g

 


やっかいなのは、(Ⅰ)‐イの場合も考えなければいけないことです。


(Ⅲ) (Ⅰ)‐イの場合


Step1

Aに着目します。②+⑥+⑦>①+⑤+⑧です。

(Ⅰ)‐イより⑤と⑧に4gがあるとすれば、⑥=⑦=1gとなります。

よって、②+2g>①+5gとなり、これは成り立ちません。従って、⑥か⑦が4g、⑤=⑧=1gとなります。

 

Step2

次にBに着目します。⑤+⑧>①+②です。

しかし、⑤+⑧=2gですから、この場合はありません。 

よって、(Ⅰ)‐イの場合は成り立たないので、

最終的な答えは、①=②=④=⑤=⑥=1g、③=4g、⑦=3g、⑧=2gとなります。

 

 

2015年06月15日
【Vol.1】平成27年度「新!静学からの挑戦状」
 みなさん、こんにちは。校長の石田です。これからみなさんと一緒に考える力と、自分の考えをまとめきちんと相手に伝える力を身につけるための「学び」をしばらくつづけたいと思います。講座の名前は「新!静学からの挑戦状」です。何かを調べてもよいですが、まずは自分で考えてみてください。また算数の問題は色々な解き方があります。できるだけ明解な解き方を考える習慣を身につけましょう。

【問題1】
 ある本を読んでいたら、こんな問題がありました。なかなか面白いなと思い、最初のトレーニングとしました。
 7つのボール①②③④⑤⑥⑦があります。この中には2gのボールが1個、3gのボールが1個あり、残りの5個のボールは全部1gのボールです。
 適当に3回はかりにのせてみたら、下の図のようになりました。
 2gのボールは何番で、3gのボールは何番か答えて下さい。理由もきちんと説明して下さい。


Q1-1a


Q1-1b


Q1-1c

【問題2】
 今度は私が少し手を加えて複雑にしてみました。ちょっと難しいかもしれません。
 8つのボール①②③④⑤⑥⑦⑧があります。この中には2gのボールが1個、3gのボールが1個、4gのボールが1個あり、残りの5個のボールは全部1gのボールです。
 適当に5回はかりにのせてみたら、下の図のようになりました。
 2gのボールは何番で、3gのボール、4gのボールは何番か答えて下さい。理由もきちんと説明して下さい。


Q1-2a


Q1-2b


Q1-2c


Q1-2d


Q1-2e


下記の方法でお送りください。※氏名、住所、電話番号も記載してください。

①FAX(054-200-0195)

②メール(info@shizugaku.ed.jp

③郵送(〒420-0833 静岡市葵区東鷹匠町25 静岡学園中学校・高等学校)

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