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静学ブログ

2014年07月20日
【Vol.5】新!静学からの挑戦状
 今回は図形と比の問題を考えましょう。

 中学生になると<相似な図形>について勉強しますが、実は小学生でも習っています。

(図1)
Q5-1この図1を見たことがありますね。そして、△ABCと△ADEの各辺の比は等しくなる。

すなわち、AB:AD=AC:AE=BC:DEということを習いましたね。

実はこの2つの三角形は相似な三角形で、それぞれの辺の比のことを相似比と言います。



(図2)
Q5-2a
では図2を見てください。

DをAと対象にD'へ、EをAと対象にE'に移動させると、△ADEと△AD'E'は同じ三角形ですから、
AB:AD'=AC:AE'=BC:D'E'が成り立ちます。








【問題】
Q5-3さて、問題です。
図は長方形に対角線を引き、辺ADを3等分した時の点をB,Cとし、それぞれB,Cを1つの頂点と結んだ図形です。

x,y,zはそれぞれの辺の長さですが、
x:y:zを[2:3:4]のように、整数の比で表しなさい。



下記の方法でお送りください。※氏名、住所、電話番号も記載してください。

①FAX(054-200-0195)

②メール(info@shizugaku.ed.jp

③郵送(〒420-0833 静岡市葵区東鷹匠町25 静岡学園中学校・高等学校)
2014年07月20日
【Vol.4】新!静学からの挑戦状(解答)
 「目に見えないけれど大切なもの」【Vol.4】の問題を考えなければ、と期限に迫られてとっさに目についた書斎の本棚に渡辺和子さんのこの本はあった。よし、これも課題になると思って出したのはよいが、薄っぺらな私にその答えの用意はなかった。というより答えがたくさんありすぎるのだ。まあ、肩に力を入れずいつも言っていることを書くしかないだろう。そんな思いでこの拙文を書いている。

 私は人間には神様から大切な三つのものを与えられていると思っている。それは善悪を判断する「良心」と問題を解決する方法を考える「智恵」さらに、その解決が人々を平等に幸せにするための「愛」である。もちろん人間が生きていくためには食べる物、着る物、住む場所すなわち衣食住がひつようである。しかしそれさえあれば人間は幸せになるか、世の中は平和か、そうでない現実が毎日テレビのニュースを賑わせている。目に見える者ばかりを負っている現代社会、その便利さの追求が人間の傲慢を生み自ら生活する地球の自然を奪っている。人間は神様から与えられた目に見えない力「良心」と「智恵」と「愛」を磨き全ての物を分かち合い共生していく社会の構築を考えるべき時ではないかと私は思う。
2014年07月10日
【Vol.4】新!静学からの挑戦状
 学校法人ノートルダム清心学園の理事長をされている渡辺和子さん、もう90才に近いお歳でしょうか、しかしお元気で現在も執筆活動をされています。2012年に出版された「置かれた場所で咲きなさい」は100万部を超えるベストセラーになりました。渡辺さんのお父様は2.26事件(皆さんは知らないと思いますので調べてください)で青年将校達に襲撃を受け当時小学校3年生(9才)だった渡辺さんの目の前で銃殺されました。

 その渡辺さんの著作の中に「目に見えないけれど大切なもの」があります。目に見えないけれど大切なものはたくさんあると思いますが、あなたにとってはそれは何ですか。そしてどうして大切だと思うのですか。自分の体験をも交えてその大切さについて600字以内で述べてください。


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2014年07月10日
【Vol.3】新!静学からの挑戦状(解答)
【問題1】
 ソロバンの得意な人はおそらく暗算で答えを出すでしょう。
 1+2+3+・・・とソロバンを動かしていけばよいですね。

 今回の問題は計算の工夫、どの様な工夫をすると早く正確な答えを出せるのか、その方法を聞いています。

(例1)
   S= 1+ 2+ 3+ 4+・・・・・・・+18+19+20
 +)S=20+19+18+17+・・・・・・・+ 3+ 2+ 1
 -----------------------------------------------------------------------------
両辺を加えると
  2S=21+21+21+21+・・・・・・・+21+21+21
    =21×20
よって
   S=210


(例2)
  S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

両側から加える
(1,20)、(2,19)、(3,18)、(4,17)・・・・・・、(10,11)
21の組が10組あるため、21×10=210


(例3)
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

2つの数を加えて20になるペアをさがす。
(1,19)、(2,18)・・・・・・、(9,11)と9組あり、残りが10と20

よって合計は
20×10+10=210


(例4)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 を計算すると55である。

11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+10×10
=155

よって
155+55=210


(例5)
例5石を左図のように並べてみる。

黒丸と赤丸は同じS=1;2+3+・・・+20個ずつある。

ところが全体の個数は21×20=420

よって黒丸=赤丸=210(個ずつである)





(例6)
1+2+3+4+5=15を基本に考える。

6+7+8+9+10
=(1+2+3+4+5)+5×5
=15+25
=40

11+12+13+14+15
=(1+2+3+4+5)+10×5
=15+50
=65

16+17+18+19+20
=(1+2+3+4+5)+15×5
=15+75
=90

よって
15+40+65+90=210


【問題2】
(例1)
まず【問題1】の(例1)と同じ方法で解いてみましょう。

   S= 1+ 3+ 5+ 7+ 9・・・・・・・+37+39
 +)S=39+37+35+33+31・・・・・・・+ 3+ 1
 -----------------------------------------------------------------------------
  2S=40×20
よって
   S=20×20=400

(例2)
【問題1】の結果を使いましょう。

すべての奇数に1を加えましょう。それはS+20ですから、
S+20=(1+1)+(3+1)+(5+1)+(7+1)+・・・・(33+1)+(35+1)+(37+1)+(39+1)
    =2+4+6+8+・・・・・・・34+36+38+40
    =2(1+2+3+4+5+・・・・・+17+18+19+20)
    =420
よって
   S=400

まだまだいろいろな工夫が考えられますよ。

どうかいつも自分でも「良い方法だな」と思う方法で答えを見つけてください。

いつも良い方法を考える習慣を身につけてください。

2014年06月30日
【Vol.3】新!静学からの挑戦状
 【Vol.1】の問題はかなり難しかったですね。できなくても自信をなくさないでください。

 今回の問題、解法はいくつもあります。できるだけ良い方法を考えるための問題です。「良い方法」とは、簡単・明解であること、他にも応用できる方法です。

【問題1】
 1から20までの自然数を加えたらいくつになりますか?

 答えは210です。

 問題はどのように計算すると早く計算できるか。

 あなたが「良い方法だな」と思う方法を5つ考えてみてください。

【問題2】
 【問題1】は、自然数を1から20まで計算する工夫をしてみました。

 では自然数でも1から始まる奇数の和を計算する工夫にはどんなものがあるか考えましょう。

 【問題1】にある「1+2+・・・+20=210」という結果を用いるやり方や【問題1】であなたが考えた計算の工夫も考えてみましょう。

 1から始まる奇数を20個加えてください。どのように求めますか。


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2014年06月30日
【Vol.2】新!静学からの挑戦状(解答)
 私は65才の大人です。年を重ねれば重ねるほど失敗も多く経験します。その失敗も皆さんに話せる失敗と恥ずかしくてとてもお話しできない物があるのです。失敗を好んでする人はないでしょう。やはりこころは傷つきます。失敗するのはいやです。

 小学校の漢字のテストの時カンニングをしてほかの生徒に見つかり大きな声で「カンニングしている」と言われました。すごく恥ずかしかった。当然、見つかったのが失敗なのではなく、カンニングをしたことが失敗です。(カンニングのことを話していると言うことはもっと大きな失敗もしていると言うことですよ)見つかって良かったのです。恥ずかしい思いをして「失敗だ」と気づいたのですから。自分の弱さを知りました。カンニングは「人をごまかすだけでなく自分自身をごまかす行為だと知りました。そして、担任の先生の優しさを知りました。

 私は特に嫌いな二つの言葉があります。「卑怯」と「「自己保身」です。実は中学2年生の英語の授業中、隣の席のK君とおしゃべりをしていました。先生に見つかってしまいました。何故かK君だけが前に呼び出されいきなりひどく殴られました。(何故か?私はクラスの委員長で英語も当時は良くできた方だったからかもしれません。)私は言えなかった。「先生、何故君だけ殴るんですか。僕も一緒におしゃべりしていました。僕も殴ってください。」何も言わなかった僕をK君は責めませんでした。私の弱さは、誘惑に負けてカンニングをしてしまう弱さだけでなく、卑怯で自分だけを守ろうとする「自己保身」というエゴイズムに満ちた弱さをも教えられました。65才の今も弱い人間であることは変わりませんが「卑怯」と「自己保身」という言葉を忘れず、できる限り自己に恥じない生き方をしたいと思うようになりました。
2014年06月20日
【Vol.2】新!静学からの挑戦状
【問題】
 「成功」と「失敗」、人は生きている限り幸せな人生を送りたい。豊かな人生を送りたい。そのために具体的な目標を立てそのことに挑戦しようとします。でも長い人生の中では成功だけということはありえません。失敗も多く経験します。私はよく「努力の前に壁はない」という古橋広之進さんの言葉を借りて「努力すれば必ず夢はかなう」と生徒たちに話します。何か矛盾したことを言うようですが、一方で「失敗する事も良い人生を送るためには大切な経験だ」と考えてもいます。

 さて、そこで「表現」の最初の問題は、皆さんの具体的な失敗体験を書いてその失敗からどのようなことを学んだか。そして「失敗することの大切さ」についてどのように考えているかを600字程度で表現してください。「よく考えて書く」ことが大切ですよ。


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2014年06月20日
【Vol.1】新!静学からの挑戦状(解答)
 皆さんこんにちは。第1回の問題「どこから手をつけたらいいのか分からない」という感想を持った人も多いでしょう。たとえ正解を見つけることができなかった人でも「僕はダメだ」と決して思わないでください。自分で考える「こうかな、いや違う、この方法は?ダメだ。」と試行錯誤しながら考えることで自然に後半の力がついてくるのです。

 実は正六角形を正三角形とした同じ問題が1989年度の広島大学の入試問題として出題されています。

【Vol.1解答例】

(図1)
ans1図のように正六角形を一辺の長さ1㎝の6つの正三角形(A,B,C,D,E,F)に分割する。

7つの点を取るのだから、「鳩(ハト)の巣原理」から少なくとも1つの正三角形に2つ以上の点が入る正三角形があることにしよう。

その正三角形はどれも同じ大きさだからどれでもよい、仮にAとしよう。



(図2)
ans2三角形の3つの頂点をO,P,Qとし、2点をR,Sとする。

RSがOP=OQ=PQ=1より小さいことを示せばよい。

Rから頂点O,P,Qまでの長さOR,PR,QR。

Rを中心にPRを半径にして円を描く。


(図3)
ans3PRが一番長いので、当然O,Qは円の内側に入るか、円周上にある。

RSと円との交点をS'とすれば、図はRS≦RS'=PRであることを示している。(1)








(図4)
ans4次にPを中心に半径PQ=1の円を描く。

Pと円周上の点との距離はPQ=1であり、Rは必ずその円の内側にあるので、PRが1より長くなることはない。(2)

よってRSは1より長くなることはない。





2014年06月10日
【Vol.1】新!静学からの挑戦状
 私は静岡学園の「数楽博士」石田邦明(いしだくにあき)です。どうぞよろしくお願いします。本を読むことや短いエッセイを書くことも好きです。これから皆さんに毎月0のつく日(すなわち10日、20日、30日)に「算数」と「表現」(あるテーマについて自分の考えを600字あるいは800字以内で書く)の問題を出していきます。どうか積極的にチャレンジしてください。

 記念すべき平成26年度第1回の問題は「算数」の問題です。

【問題】
zukei 右の図のような一辺が1㎝の正6角形があります。この図形の内部に7つの点を取ります。(内部とは、正6角形の辺上の点を含まない内部のことです)7つの点をどのようにとっても2つの点の距離が1より長くならない2点があることを説明しなさい。


【ヒント】
 算数(数学)を勉強する意義は、「計算が出来る」こと、「図形の性質を知る」ことはもちろん、それよりずっと大切なことに「順序立てて考える(論理的に考える)」ことや問題を解決するためのアイデアを考えることにあります。

 この問題を解くためには後半の力が重要になります。そこでヒントですが「7は6より1多い」ということです。このことが何故大切なアイデアか。ここに6つの巣箱があって7匹の鳩がいて全部の鳩が巣箱に入ろうとすると、必ず1つの巣箱に2匹以上の鳩が入った巣箱がある」と言えますね。これを「鳩の巣原理」といいます。意外と活用方法が多いんですよ。
2013年12月21日
【Vol.15】新!静学からの挑戦状(解答)
【問題1】
 この問題は、どのように上手に落ちがないようにすべてを数えることができるかが、課題です。

 一方で、同じ大きさ、同じ形の三角形は1種類とみなしますから、ダブらないようにしてください。

(図1)
※図のアルファベットの記号は図によって異なっていますので、注意してください。

Q15-1
 まず、図1のアルファベットの付いている所だけ考えましょう。

 △ABO=1/6はすぐわかりますね。 ・・・①

 △ABE=△ACE=△ABG=△AOG=△AOH=△ACH=1/2△ABO=1/12 ・・・②

 △ADE=△AFE=1/2ABDは分かりますか。

 従って、△ADE=1/3△ABE=1/36 ・・・③

 また、△ABD=1/12-1/36=1/18 です ・・・④

 すると、△ADF=2△ADE=1/36×2=1/18 ・・・⑤

 また、△ABC=1/6 ・・・⑥

 また、△ABF=△ACD=△ABE+△AFE=1/12+1/36=1/9 ・・・⑦

 あと見えてくるのは大きな三角形です。図2を見てください。


(図2)
Q15-2
 △PQR=1/2 ・・・⑧
 
 △PQU=△PRU=1/2△PQR=1/4 ・・・⑨

 △SQT=△SQO+△SOT=1/6+1/6=1/3 ・・・⑩

 最後に見落としやすいのが、△QVT=△SQT-△SQV=1/3-1/9=2/9 ・・・⑪

 以上11種類が答えです。


【問題2】

Q15-3
 まず、このように点を結んで得られる点にアルファベットを付けましょう。

 G、H、KはそれぞれAB、ED、FCの中点であることが分かります。
 (これは各辺の中点が分かることを示しています)

 次に、GI=JH=1/6GH(分かりますか)

 IK=KJ=1/3GHです。



Q15-4
 次に、正六角形のそれぞれの辺の四等分点が分かることを示しましょう。

 図の線を見て、辺CO辺AFの四等分点が作れることを確認してください。

 さらに、GI=IL=LK=KM=MJ=JH=1/6GHであることを確認してください。

 さて、次に、HCの五等分点を見つけましょう。




Q15-5 Q15-6









 △HCIを考えてください。

 逆に見て、底辺ICに平行な線が引かれていますね。

 しかもIL=LK=KM=MJ=JHですから、平行線とHCの交点は五等分点になりました。



Q15-7
 図形をまた元の位置で考えましょう。

 HCの五等分点が求められるということは同様にFHの五等分点も求められることを意味します。

 △FCHは二等辺三角形ですから、五等分点を結んで底辺に平行な直線を引けば、それぞれの直線と、KHの交点がKHの五等分点になっていることが分かります。

 すなわち、これでGHの十等分点が求められたことになります。



Q15-8
 さあ、△GFHの面積が分かりますか。

 △ABF=1/6(問題1でやりました)

 従って、△AGF=△EHF=1/12、よって△GHF=1/2-1/12×2=1/2-1/6=1/3





そこで、クライマックスです。点線で分けられた三角形の面積は、すべて1/3×1/10=1/30です。

1/30が6個集まれば、1/30×6=1/5となりますから、図を見て考えれば、面積1/5の三角形がいくつかできますね。お疲れ様でした。

今年度の「新!静学からの挑戦状」はこれで完結です。
皆さん、よく頑張りましたね。入試も頑張ってください。
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