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静学ブログ

2013年12月21日
【Vol.15】新!静学からの挑戦状(解答)
【問題1】
 この問題は、どのように上手に落ちがないようにすべてを数えることができるかが、課題です。

 一方で、同じ大きさ、同じ形の三角形は1種類とみなしますから、ダブらないようにしてください。

(図1)
※図のアルファベットの記号は図によって異なっていますので、注意してください。

Q15-1
 まず、図1のアルファベットの付いている所だけ考えましょう。

 △ABO=1/6はすぐわかりますね。 ・・・①

 △ABE=△ACE=△ABG=△AOG=△AOH=△ACH=1/2△ABO=1/12 ・・・②

 △ADE=△AFE=1/2ABDは分かりますか。

 従って、△ADE=1/3△ABE=1/36 ・・・③

 また、△ABD=1/12-1/36=1/18 です ・・・④

 すると、△ADF=2△ADE=1/36×2=1/18 ・・・⑤

 また、△ABC=1/6 ・・・⑥

 また、△ABF=△ACD=△ABE+△AFE=1/12+1/36=1/9 ・・・⑦

 あと見えてくるのは大きな三角形です。図2を見てください。


(図2)
Q15-2
 △PQR=1/2 ・・・⑧
 
 △PQU=△PRU=1/2△PQR=1/4 ・・・⑨

 △SQT=△SQO+△SOT=1/6+1/6=1/3 ・・・⑩

 最後に見落としやすいのが、△QVT=△SQT-△SQV=1/3-1/9=2/9 ・・・⑪

 以上11種類が答えです。


【問題2】

Q15-3
 まず、このように点を結んで得られる点にアルファベットを付けましょう。

 G、H、KはそれぞれAB、ED、FCの中点であることが分かります。
 (これは各辺の中点が分かることを示しています)

 次に、GI=JH=1/6GH(分かりますか)

 IK=KJ=1/3GHです。



Q15-4
 次に、正六角形のそれぞれの辺の四等分点が分かることを示しましょう。

 図の線を見て、辺CO辺AFの四等分点が作れることを確認してください。

 さらに、GI=IL=LK=KM=MJ=JH=1/6GHであることを確認してください。

 さて、次に、HCの五等分点を見つけましょう。




Q15-5 Q15-6









 △HCIを考えてください。

 逆に見て、底辺ICに平行な線が引かれていますね。

 しかもIL=LK=KM=MJ=JHですから、平行線とHCの交点は五等分点になりました。



Q15-7
 図形をまた元の位置で考えましょう。

 HCの五等分点が求められるということは同様にFHの五等分点も求められることを意味します。

 △FCHは二等辺三角形ですから、五等分点を結んで底辺に平行な直線を引けば、それぞれの直線と、KHの交点がKHの五等分点になっていることが分かります。

 すなわち、これでGHの十等分点が求められたことになります。



Q15-8
 さあ、△GFHの面積が分かりますか。

 △ABF=1/6(問題1でやりました)

 従って、△AGF=△EHF=1/12、よって△GHF=1/2-1/12×2=1/2-1/6=1/3





そこで、クライマックスです。点線で分けられた三角形の面積は、すべて1/3×1/10=1/30です。

1/30が6個集まれば、1/30×6=1/5となりますから、図を見て考えれば、面積1/5の三角形がいくつかできますね。お疲れ様でした。

今年度の「新!静学からの挑戦状」はこれで完結です。
皆さん、よく頑張りましたね。入試も頑張ってください。
2013年11月20日
【Vol.15】新!静学からの挑戦状
 図のような正六角形ABCDEFがあります。6個の頂点を全て結んでみました。正六角形の面積を1とします。

すると、例えば△ACE=1/2、△BCF=1/3となります。

Q15-1

【問1】
 この図の中には他にも色々な三角形が隠されています。

 形が同じものは同じとして、何種類の三角形がありますか。

 そして、それらの面積はいくつですか答えなさい。






Q15-2【問2】
 図2の中には、多くの対角線の交点があります。

 正六角形の頂点、さらに内側の対角線の交点を結んだ線を引くと、・・・・・・のようにどんどん線が増えていき、さらに多くの三角形ができます。

 さて、あなたはこれらの直線で囲まれた面積1/5の三角形を作ることができますか。その三角形を示してください。




※難しい知識はいりません。でも、かなり難しい問題だと思います。最後の問題です。もう期限はありません。いつまでも待っていますよ。
2013年11月20日
【Vol.14】新!静学からの挑戦状(解答)
 人間とは本当に不思議な動物です。だからこそ余計に「教師という職業」を選んで良かったなと思っています。教師という職業は、教える「教師」と教わる「生徒」というように立場は違いますが、実際には共に「人間として成長していく」営みが教育なのだと思っています。そして、その学びの重要な要素が「真・善・美」の3つなのではないかと思っているのです。

 「美しい」と感ずる物・事、そして心のあり様はたくさんあります。美しいと思うことが出来る「豊かな感性」を持っている人はとても幸せな人です。逆に、何も美しいと感じないという人がいたら不幸ですね。残念です。

 この季節であれば、「山々の紅葉」も「雪をかぶった富士」も美しいですね。人工的な美しさもあります。街を飾るイルミネーションも素敵ですね。

 しかし、私が一番心を動かされる「美しさ」とは、「優しい笑顔、ほほえみ」と、「自分の状況を顧みず、相手のことを第一に考える人を思いやる心」、「重荷を抱えて困難の中にある人々の重荷を共に負おうとする深い慈しみ」、「親が子を思う純粋な愛情」等でしょうか。

 何故か。私にはそのような美しい心はないからかもしれません。人はないものを求めると言うではありませんか。
2013年11月10日
【Vol.14】新!静学からの挑戦状
 人間とは不思議な動物です。他の動物と違って脳が著しく発達したことで、いろいろな人間特有の資質を有するようになりました。パスカルが「人間は考える葦(あし)である」と言ったように、「考える力」を獲得し、「知恵」を有するようになりました。それが【Vol.12】にあった文明を発展させていく力になりました。

 話は変わります。ギリシャの哲学者は「人間は『真、善、美』を生まれながらに求める」と言いました。

 今回はその「美」をテーマにしましょう。あなたはどのような物、事、心のあり様に「美」、すなわち「美しい」と感じますか。どのようなことでも結構です。具体的なことをあげてなぜそのような物、事、あり様を「美しい」と感ずるのか、600字以内で述べなさい。

下記の方法でお送りください。※氏名、住所、電話番号も記載してください。

①FAX(054-200-0195)

②メール(info@shizugaku.ed.jp

③郵送(〒420-0833 静岡市葵区東鷹匠町25 静岡学園中学校・高等学校)
2013年11月10日
【Vol.13】新!静学からの挑戦状(解答)
【問題1】
2ケタの整数は10~99まで90個あります。90個全部調べていくのは大変です。

この場合のポイントは、「何回か掛けると、1の位が7になる整数」となっていますが、2ケタの整数でも3ケタの整数でも、何回か掛けた時の1の位の数は、その数の1の位を何回か掛けた時の1の位と同じだということです。

だから調べればよいのは、1の位が0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の9個の数だけ考えればよいのです。

0・・・何回掛けても0

1・・・何回掛けても1

2・・・1回:2、2回:4、3回:8、4回:6、5回:2、6回:4・・・・・・
   という様に、4回掛けるごとに2、4、8、6を繰り返します。

3・・・1回:3、2回:9、3回:7、4回:1、5回:3、6回:9、7回:7・・・・・・
   これも4回掛けるごとに3、9、7、1を繰り返しますね。

4・・・1回:4、2回:6、3回:4、4回:6・・・・・・
   これは2回掛けるごとに4、6を繰り返します。

5・・・何回掛けても5

6・・・何回掛けても6

7・・・1回:7、2回:9、3回:3、4回:1、5回:7、6回:9・・・・・・
   4回掛けるごとに7、9、3、1を繰り返します。
 
8・・・1回:8、2回:4、3回:2、4回:6、5回:8、6回:4・・・・・・
   4回掛けるごとに8、4、2、6を繰り返します。

9・・・1回:9、2回:1、3回:9、4回:1・・・・・・
   2回掛けるごとに9、1を繰り返します。

よって、何回か掛けると、1の位が7になる2ケタの整数は、1の位が3または7ということがわかりました。

2ケタの整数は、10の位が9までの9個ですから、

答えは、9×2=18(個)になります。


【問題2】
上のように、問題1をていねいにやれば、問題2の解答は見えてきます。ただし、答えだけ書いて良しとする態度はいけません。なぜそうなるのか、きちんと説明してください。

※2ケタの数を何回掛けても、その1の位の数は、元の1の位の数を掛けた1の位の数になることを忘れないでください。

問題1の解答をみて、2つの異なる2ケタの整数とは、1の位が3の整数(αとします)と、7の整数(βとします)であることがわかります。

αは3回、7回、11回、15回・・・・・・、すなわち4k-1(k=1,2,3・・・・・・)回掛けたときに、1の位が7になります。

一方、βは1回、5回、9回、13回・・・・・・、すなわち4m-1(m=1,2,3・・・・・・)回掛けたときに、1の位が7になります。

そこで、掛ける回数を入れ換える訳ですが、1の位だけ考えればよいので、3を<4m-3>回(m=1のとき1回、m=2のとき5回・・・)掛けると、1の位が3になることがわかります。

また、7を<4k-1>回(k=1のとき3回、k=2のとき7回・・・)掛けると、やはり1の位が3になることがわかりますね。

よって答えは 3 です。








2013年10月30日
【Vol.13】新!静学からの挑戦状
【問題1】
 ここに2ケタの整数があります。何回か掛けると1の位が7になる整数は全部でいくつありますか。


【問題2】
 1の位が異なる整数が2個あります。その1つの整数を、2回以上何回か掛けると、1の位の数が7になりました。もう1つの整数を2回以上何回か掛けると、1の位の数字がやはり7になりました。この2つの整数の掛け合わせる回数を入れ替えると、1の位の数字が同じになります。その時の1の位の数字を答えなさい。

※問題2は、1991年度の灘中学の入試問題です。でも問題1が解けた人は、難なく問題も解けるはずです。私からのヒントです。
2013年10月30日
【Vol.12】新!静学からの挑戦状(解答)
 皆さんは、人類が発明・発見した物のうち何を取り上げましたか。「必要は発明の母なり。」という言葉があるとおり、人間は人類の幸せ、喜び、快適さを必要とし、そのために様々なものを発明・発見してきました。

 物理学の「核分裂による壮大なエネルギー」の創出は元々大量破壊兵器である核爆弾の開発のために研究された分野です。「人類の幸福のために、快適な生活のために」と研究者は思っていたのかもしれません。しかし、時の権力者の思いは違っていました。日本は「核分裂を応用した原爆による唯一の被爆国」です。そしてまた今、世界中を不安と困惑の中に陥れた東日本大震災による福島第一原発の水素爆発を経験しました。誰もが人類の英知である文明の発展の在り方に疑問を持ちました。文明の発展には大きな落とし穴(影の部分)があることを人類はずいぶん前から知っていました。しかし、英知・理性が欲望を止められませんでした。それは、人類の傲慢(ごうまん)さと無知に起因しているのでしょう。

 「進歩のためには多少の犠牲は仕方がない」。私はそんなことは考えないという人もその文明の恩恵にあずかっています。排気ガスを垂れ流す自動車、大気や大海を汚染する石油合成物は多くの生き物たちを苦しめています。「傲慢さと無知」と言いました。IT技術の発展は人類の生活環境を一転させました。世界の国々の壁を取り払い、情報は一瞬にして世界中を駆け巡ります。その情報の操作は悪意という意思のある者の手によって、あるいは無知な人間の軽率さによって垂れ流しになり、人々を苦しめる道具にもなっています。今や最も陰湿なイジメノの道具になっています。

 クローン技術、iPS細胞作成の技術に人々は多くの期待を寄せています。善意の人々は人々の幸福のために応用しようとしています。難病の人たちは新しい治療法が開発されることを必死に願っています。しかし、ここにも影の部分があります。「人間の尊厳」とは何か。「傲慢さと無知」とはここでもどのような危険な応用技術を開発するかもしれません。大きな発明・発見であればある程、光の部分と共に影の部分もそれに応じて大きいことを知らねばなりません。謙遜(けんそん)と英知の結集こそ、影の部分を増幅させない唯一の方法かもしれません。

 最後に、私は文明の発展ばかりを望むのではなく、登山家が悪天候による危険を察知して勇気を持って下山を決意するように、人間もある時には文明の発展競争から一時下山する勇気が必要だと思えて仕方がありません。
2013年10月20日
【Vol.12】新!静学からの挑戦状
 人類(ホモサピエンス)は誕生してからどのくらいの歴史があるのでしょうか。5万年とも10万年とも言われていますね。さて、その人類は直立歩行をし、他の動物より脳の発達が顕著に見られます。そのおかげで火の発見、石斧、土器から始まり様々なものを発明・発見してきました。文明はものすごい勢いで発展しました。印刷技術、通信技術、蒸気機関車等の乗り物、さらに時代を経て様々な電化製品を作りました。現代は飛行機、デジカメ、ハイビジョンテレビ、パソコンにipad,,携帯電話やスマートフォン、様々なロボットなど生活に欠かせないものになりました。しかし文明の発展は人間の生活に便利さと快適さ等のプラスの要因(光の部分)をもたらすだけでなくマイナスの要因(影の部分)ももたらします。下手をすると人類は自分たちが発明したものの影の部分によって滅びてしまうかもしれません。

 そこで皆さんに考えてほしいことは,人類が発明、発見したものを一つあげてその光の部分と影の部分について考えながら「文明の進歩について」あなたが考えるところを600字以内で述べなさい。
2013年10月20日
【Vol.11】新!静学からの挑戦状(解答)
  この問題は、いくつかの折り方がありますが、1つは中学生で学習する相似の考えを使う方法です。相似な図形とは、平たく言えば拡大、縮小した図形のことです。

例えば、

a01

A'B'=2AB
B'C'=2BC
A'C'=2AC

とすれば、△A'B'C'は、△ABCのそれぞれの辺を2倍に拡大した図形で、△ABCと△A'B'C'は相似な図形といいます。


(三等分点E)

①ABをDCに合わせて折る。

a02

②BをDに合わせて折る
a03

③PBで折る。
a04

④ADをGを通るように折る。
a05-1



さて、なぜ、AE=1/3ABになっているか、不親切ですが簡単に言います。

△APGと△CGBは、1:2の相似な三角形です。

BC=2APから分かります。

実はそれぞれの三角形の底辺をAP、BCと考えると、その高さAE、BEも1:2になっているのです。

よってEはABの三等分点なのです。



(五等分点)

 三等分点Fの求め方が分かれば、五等分点Fの求め方も分かります。図だけ示しましょう。


a06


a07


a08


a09


001

 今回は相似の考え方を使いました。もっと一般的な折り方があり、実はどんなn(自然数)に対してもn等分点を見つけることができます。
2013年10月10日
【Vol.11】新!静学からの挑戦状

折り紙の問題です。

他の道具を使わず手で折ることだけで、折り紙の辺の三等分点を見つけてください。

(図1)
Q11-1

AE=1/3ABとなる点Eを見つけることです。

どのように折ればよいか答えてください。

次に、できたら五等分点AF=1/5ABとなる点Fはどのように折ればよいか答えてください。





(図2)
Q11-2

点線で折って、DをPに重ねることができます。










(図3)
Q11-3

点CをPに合わせれて折れば、点Q、R、Sなどが分かります。









(図4)
Q11-4

Pは折り紙の外にあっても、内にあってもいいですよ。

Q、Rなどが分かります。








その他、折り方を工夫すれば、色々な点を見つけたり、折った線を残すことができます。

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